在矩阵理论中，矩阵乘积的性质一直是研究的重点之一。特别是对于两个矩阵 $ A $ 和 $ B $，它们的乘积 $ AB $ 与 $ BA $ 在很多情况下具有不同的特性，其中“秩”的比较就是一个重要的方面。本文将围绕“矩阵 $ AB $ 和矩阵 $ BA $ 的秩”这一主题进行探讨，分析其异同点，并给出一些相关结论。
一、基本概念
首先，我们需要明确几个基本定义：
- 矩阵的秩（Rank）：一个矩阵的秩是指其行向量组或列向量组的最大线性无关组所含向量的个数，也可以理解为该矩阵的非零奇异值的个数。
- 矩阵乘法：设 $ A $ 是一个 $ m \times n $ 矩阵，$ B $ 是一个 $ n \times p $ 矩阵，则 $ AB $ 是一个 $ m \times p $ 矩阵；而 $ BA $ 只有在 $ A $ 是 $ n \times m $ 矩阵时才有意义，此时 $ BA $ 是一个 $ n \times n $ 矩阵。
因此，只有当 $ A $ 和 $ B $ 是方阵或者满足特定维度条件时，$ AB $ 和 $ BA $ 才可以同时存在。
二、秩的比较
1. 当 $ A $ 和 $ B $ 都是方阵时
若 $ A $ 和 $ B $ 都是 $ n \times n $ 的方阵，则 $ AB $ 和 $ BA $ 都是 $ n \times n $ 矩阵。此时，一个重要的结论是：
> 秩(AB) = 秩(BA)
这个结论在某些条件下成立，例如当 $ A $ 或 $ B $ 是可逆矩阵时。更一般地，我们可以证明：
$$
\text{rank}(AB) = \text{rank}(BA)
$$
但需要注意的是，这个等式并不总是成立，尤其是在 $ A $ 或 $ B $ 不可逆的情况下。
2. 当 $ A $ 和 $ B $ 是不同维度的矩阵时
比如，设 $ A $ 是 $ m \times n $ 矩阵，$ B $ 是 $ n \times m $ 矩阵，那么 $ AB $ 是 $ m \times m $ 矩阵，$ BA $ 是 $ n \times n $ 矩阵。这种情况下，虽然它们的大小不同，但仍然可以比较它们的秩。
此时，有一个重要的不等式：
$$
\text{rank}(AB) \leq \min(\text{rank}(A), \text{rank}(B))
$$
$$
\text{rank}(BA) \leq \min(\text{rank}(A), \text{rank}(B))
$$
而且，还有一个有趣的结论是：
> rank(AB) = rank(BA)
即使 $ AB $ 和 $ BA $ 的维度不同，它们的秩仍然是相等的。
三、举例说明
让我们通过一个例子来验证上述结论。
设：
$$
A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}
$$
计算 $ AB $ 和 $ BA $：
$$
AB = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
$$
$$
BA = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}
$$
可以看到：
- $ \text{rank}(AB) = 0 $
- $ \text{rank}(BA) = 1 $
这说明在某些情况下，$ AB $ 和 $ BA $ 的秩可能不同。但要注意的是，这里的 $ A $ 和 $ B $ 并不是方阵，而是 $ 2 \times 2 $ 和 $ 2 \times 2 $ 的矩阵，所以它们的乘积 $ AB $ 和 $ BA $ 都是 $ 2 \times 2 $ 的矩阵，只是秩不同。
四、总结
- 对于任意两个矩阵 $ A $ 和 $ B $，只要 $ AB $ 和 $ BA $ 都有意义，就有：
$$
\text{rank}(AB) = \text{rank}(BA)
$$
- 当 $ A $ 和 $ B $ 是方阵时，该结论更加直观且常见。
- 即使在某些特殊情况下秩不一致，通常也是由于矩阵本身不可逆或结构特殊导致的。
因此，“矩阵 $ AB $ 和矩阵 $ BA $ 的秩”这一问题在矩阵理论中具有重要意义，不仅有助于理解矩阵乘法的性质，也为后续的线性变换、特征值分析等提供了基础支持。
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