【最大公约数和最小公倍数怎么求】在数学中，最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM）是两个非常重要的概念，常用于分数运算、约分、通分以及编程中的算法设计。掌握它们的求法有助于提高计算效率和理解数的性质。
一、最大公约数（GCD）
定义：两个或多个整数共有约数中最大的一个，称为它们的最大公约数。
常用方法：
1. 列举法：列出两个数的所有约数，找出最大的公共约数。
2. 分解质因数法：将每个数分解为质因数，取所有公共质因数的乘积。
3. 短除法：用共同的质因数连续去除，直到商互质为止，最后将所有除数相乘。
4. 欧几里得算法（辗转相除法）：用较大的数除以较小的数，再用余数继续除下去，直到余数为0，此时的除数即为GCD。
二、最小公倍数（LCM）
定义：两个或多个整数公有的倍数中最小的一个，称为它们的最小公倍数。
常用方法：
1. 列举法：列出两个数的倍数，找到最小的公共倍数。
2. 公式法：若已知两数的GCD，则LCM = (a × b) ÷ GCD(a, b)。
3. 分解质因数法：将每个数分解为质因数，取所有质因数的最高次幂相乘。
三、总结对比
| 项目 | 最大公约数（GCD） | 最小公倍数（LCM） |
| 定义 | 所有公共约数中最大的一个 | 所有公共倍数中最小的一个 |
| 求法 | 列举法、分解质因数、短除法、欧几里得算法 | 列举法、分解质因数、公式法（LCM = a×b÷GCD） |
| 公式 | — | LCM(a, b) = (a × b) ÷ GCD(a, b) |
| 应用场景 | 分数约分、简化比例、找公共周期 | 分数通分、寻找重复周期、工程问题 |
四、示例说明
例1：求12和18的最大公约数和最小公倍数
- GCD：
- 分解质因数：12 = 2² × 3；18 = 2 × 3²
- 公共质因数：2¹ × 3¹ = 6
- 所以，GCD(12, 18) = 6
- LCM：
- LCM = (12 × 18) ÷ GCD = 216 ÷ 6 = 36
- 或者取所有质因数的最高次幂：2² × 3² = 4 × 9 = 36
- 所以，LCM(12, 18) = 36
通过以上方法，我们可以快速准确地求出任意两个整数的最大公约数和最小公倍数。掌握这些技巧不仅有助于数学学习，也能在实际生活中解决许多与“重复”和“分配”相关的问题。
