在数学中，函数是描述变量之间关系的重要工具。当我们讨论二元函数时，通常指的是由两个自变量共同决定的一个因变量。例如，函数 $ f(x, y) $ 就是一个典型的二元函数，其中 $ x $ 和 $ y $ 是自变量，$ f(x, y) $ 是由这两个变量共同确定的函数值。

在研究二元函数时，一个非常关键的问题就是它的“定义域”。所谓定义域，是指所有使得该函数有意义的自变量取值的集合。换句话说，定义域就是函数在哪些点上可以被合法地计算和解释。

对于二元函数来说，定义域通常是由两个变量组成的有序对 $ (x, y) $ 所构成的集合。这个集合中的每一个元素都必须满足函数表达式中所涉及的运算规则，比如分母不能为零、根号下的表达式不能为负数、对数函数的真数必须为正等。

例如，考虑函数：

$$

f(x, y) = \frac{1}{x^2 + y^2 - 1}

$$

在这个函数中，分母 $ x^2 + y^2 - 1 $ 不能等于零，否则函数将无意义。因此，该函数的定义域就是所有满足 $ x^2 + y^2 \neq 1 $ 的点 $ (x, y) $。换句话说，这个函数在单位圆上是不成立的，而在圆外或圆内（除去圆周）都是有效的。

再来看一个例子：

$$

g(x, y) = \sqrt{x - y}

$$

由于平方根函数要求被开方数非负，所以该函数的定义域是所有满足 $ x - y \geq 0 $ 的点，即 $ x \geq y $ 的区域。

在实际应用中，定义域的选择往往受到具体问题的限制。例如，在物理或工程问题中，某些变量可能有现实意义的范围，如温度不能低于绝对零度，时间不能为负数等。这些现实约束也会对函数的定义域产生影响。

理解二元函数的定义域不仅有助于我们判断函数的有效性，还能帮助我们在绘制函数图像、分析函数性质以及进行数值计算时避免错误。因此，掌握如何正确求解和表示二元函数的定义域是一项基本而重要的数学技能。

总之，二元函数的定义域是函数存在的前提条件，它决定了函数在哪些区域内是可以被有效使用的。通过分析函数表达式中的运算规则和现实背景，我们可以准确地确定其定义域，并为进一步的研究和应用打下坚实的基础。