【三角函数转换公式大全】在数学学习中，三角函数是重要的基础知识之一，广泛应用于几何、物理、工程等领域。掌握常见的三角函数转换公式，有助于提高解题效率和理解能力。以下是对常见三角函数转换公式的总结，并以表格形式进行展示，便于查阅与记忆。
一、基本三角函数关系
| 公式 | 表达式 |
| 倒数关系 | $ \sin\theta = \frac{1}{\csc\theta} $, $ \cos\theta = \frac{1}{\sec\theta} $, $ \tan\theta = \frac{1}{\cot\theta} $ |
| 商数关系 | $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $, $ \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} $ |
| 平方关系 | $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $, $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $, $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $ |
二、诱导公式（角度变换）
| 角度变换 | 公式 |
| $ \sin(-\theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(-\theta) $ | $ \cos\theta $ |
| $ \tan(-\theta) $ | $ -\tan\theta $ |
| $ \sin(\pi - \theta) $ | $ \sin\theta $ |
| $ \cos(\pi - \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \tan(\pi - \theta) $ | $ -\tan\theta $ |
| $ \sin(\pi + \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(\pi + \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \tan(\pi + \theta) $ | $ \tan\theta $ |
| $ \sin(2\pi - \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(2\pi - \theta) $ | $ \cos\theta $ |
| $ \tan(2\pi - \theta) $ | $ -\tan\theta $ |
三、和角与差角公式
| 公式 | 表达式 |
| 正弦和差 | $ \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $ |
| 余弦和差 | $ \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $ |
| 正切和差 | $ \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} $ |
四、倍角公式
| 公式 | 表达式 |
| 正弦倍角 | $ \sin 2A = 2\sin A \cos A $ |
| 余弦倍角 | $ \cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2\cos^2 A - 1 = 1 - 2\sin^2 A $ |
| 正切倍角 | $ \tan 2A = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A} $ |
五、半角公式
| 公式 | 表达式 |
| 正弦半角 | $ \sin \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2}} $ |
| 余弦半角 | $ \cos \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}} $ |
| 正切半角 | $ \tan \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos A}{1 + \cos A}} $ |
六、积化和差公式
| 公式 | 表达式 |
| $ \sin A \cos B $ | $ \frac{1}{2} [\sin(A + B) + \sin(A - B)] $ |
| $ \cos A \cos B $ | $ \frac{1}{2} [\cos(A + B) + \cos(A - B)] $ |
| $ \sin A \sin B $ | $ \frac{1}{2} [\cos(A - B) - \cos(A + B)] $ |
七、和差化积公式
| 公式 | 表达式 |
| $ \sin A + \sin B $ | $ 2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right) $ |
| $ \sin A - \sin B $ | $ 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right) $ |
| $ \cos A + \cos B $ | $ 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right) $ |
| $ \cos A - \cos B $ | $ -2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right) $ |
八、其他常用公式
| 公式 | 表达式 |
| 正弦函数的周期性 | $ \sin(\theta + 2\pi n) = \sin\theta $, $ \cos(\theta + 2\pi n) = \cos\theta $ |
| 正切函数的周期性 | $ \tan(\theta + \pi n) = \tan\theta $ |
| 三角函数的极值 | $ \sin\theta \in [-1, 1] $, $ \cos\theta \in [-1, 1] $, $ \tan\theta \in (-\infty, +\infty) $ |
通过以上总结，可以系统地掌握三角函数的基本转换公式，为后续的数学学习打下坚实基础。建议结合实际题目进行练习，加深理解和应用能力。
