【两圆相交公共弦公式】在几何学中，两圆相交时，它们的交点之间形成的线段称为“公共弦”。公共弦是连接两个交点的直线段，其长度和位置可以通过圆的方程进行计算。掌握两圆相交公共弦的公式，有助于快速求解相关几何问题。

一、公共弦的基本概念

当两个圆相交时，它们会有两个交点。这两个交点之间的线段即为公共弦。公共弦所在的直线称为“公共弦所在直线”，它与两圆的连心线（连接两圆圆心的直线）垂直，并且公共弦的中点位于连心线上。

二、公共弦的公式推导

设两圆的方程分别为：

- 圆1：$ (x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = r_1^2 $

- 圆2：$ (x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = r_2^2 $

将两圆方程相减，可得公共弦所在直线的方程：

$$

(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 - [(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2] = r_1^2 - r_2^2

$$

展开并整理后，得到公共弦所在直线的一般式：

$$

2(x_2 - x_1)x + 2(y_2 - y_1)y + (x_1^2 + y_1^2 - x_2^2 - y_2^2) = r_1^2 - r_2^2

$$

这是一条直线方程，表示公共弦所在直线。

三、公共弦长度的计算公式

若已知两圆的圆心坐标 $ O_1(x_1, y_1) $ 和 $ O_2(x_2, y_2) $，以及半径 $ r_1 $ 和 $ r_2 $，则两圆相交时，公共弦的长度 $ L $ 可以通过以下公式计算：

$$

L = 2 \sqrt{r_1^2 - d^2}

$$

其中，$ d $ 是两圆圆心之间的距离，即：

$$

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

$$

但需要注意的是，该公式仅适用于两圆相交的情况，且要求 $ d < r_1 + r_2 $ 且 $ d > r_1 - r_2 $。

四、总结与对比

五、应用举例

假设两圆方程如下：

- 圆1：$ (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 5^2 $

- 圆2：$ (x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 5^2 $

圆心分别为 $ O_1(0, 0) $ 和 $ O_2(4, 3) $，半径均为 5。

圆心距 $ d = \sqrt{(4 - 0)^2 + (3 - 0)^2} = 5 $。

由于 $ d = 5 $，等于半径，说明两圆外切，不相交，因此没有公共弦。

再假设圆2半径为 6，则圆心距仍为 5，此时两圆相交，公共弦长度为：

$$

L = 2 \sqrt{5^2 - 5^2} = 0

$$

这说明两圆内切，只有一个交点，也无公共弦。

六、结论

两圆相交时，公共弦的存在依赖于两圆的位置关系。通过公式的合理运用，可以快速判断是否相交、计算公共弦长度及位置。掌握这些公式对解决几何问题具有重要意义。