在数学分析中，不定积分是一个重要的概念，它帮助我们找到一个函数的原函数。今天，我们将探讨如何求解形如 \( \ln(x) \cdot x \) 的不定积分。

首先，我们需要明确积分的目标是找到一个函数 \( F(x) \)，使得其导数等于被积函数 \( f(x) = \ln(x) \cdot x \)。即满足 \( F'(x) = \ln(x) \cdot x \)。

为了简化问题，我们可以采用分部积分法。分部积分公式为：

\[

\int u \, dv = uv - \int v \, du

\]

在这里，我们可以选择 \( u = \ln(x) \) 和 \( dv = x \, dx \)。接下来，我们需要分别计算 \( du \) 和 \( v \)。

1. 计算 \( du \)

由于 \( u = \ln(x) \)，其微分为：

\[

du = \frac{1}{x} \, dx

\]

2. 计算 \( v \)

由于 \( dv = x \, dx \)，积分得到：

\[

v = \frac{x^2}{2}

\]

现在将这些结果代入分部积分公式：

\[

\int \ln(x) \cdot x \, dx = \ln(x) \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx

\]

化简第二项积分：

\[

\int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \int \frac{x}{2} \, dx = \frac{x^2}{4}

\]

因此，最终结果为：

\[

\int \ln(x) \cdot x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4} + C

\]

其中，\( C \) 是积分常数。

通过上述步骤，我们成功地求解了 \( \ln(x) \cdot x \) 的不定积分。这种方法不仅适用于此类问题，还可以推广到其他类似的函数组合中。

希望这篇文章对你有所帮助！

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