【动量守恒定律中,完全弹性碰撞的速度V1 ,V2 推导公式】在物理学中，碰撞是两个或多个物体相互作用的过程。根据碰撞过程中能量是否守恒，可以分为完全弹性碰撞和非弹性碰撞。其中，完全弹性碰撞是指碰撞过程中动量和动能都守恒的情况。
本文将总结动量守恒定律在完全弹性碰撞中的应用，并推导出碰撞后两物体速度的表达式（V₁ 和 V₂）。
一、基本假设与物理定律
设两个物体质量分别为 $ m_1 $ 和 $ m_2 $，碰撞前的速度分别为 $ u_1 $ 和 $ u_2 $，碰撞后的速度分别为 $ v_1 $ 和 $ v_2 $。
在完全弹性碰撞中，满足以下两个条件：
1. 动量守恒：
$$
m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2
$$
2. 动能守恒：
$$
\frac{1}{2} m_1 u_1^2 + \frac{1}{2} m_2 u_2^2 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2
$$
二、推导过程
由动量守恒方程可得：
$$
m_1 (u_1 - v_1) = m_2 (v_2 - u_2)
$$
由动能守恒方程可得：
$$
m_1 (u_1^2 - v_1^2) = m_2 (v_2^2 - u_2^2)
$$
利用平方差公式：
$$
m_1 (u_1 - v_1)(u_1 + v_1) = m_2 (v_2 - u_2)(v_2 + u_2)
$$
结合动量守恒方程，两边同时除以 $ (u_1 - v_1) $ 或 $ (v_2 - u_2) $，得到：
$$
u_1 + v_1 = v_2 + u_2
$$
即：
$$
v_2 = u_1 + v_1 - u_2
$$
将此代入动量守恒方程，解得：
$$
v_1 = \frac{(m_1 - m_2)u_1 + 2m_2 u_2}{m_1 + m_2}
$$
$$
v_2 = \frac{(m_2 - m_1)u_2 + 2m_1 u_1}{m_1 + m_2}
$$
三、总结与表格展示
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 碰撞后物体1的速度 $ v_1 $ | $ v_1 = \frac{(m_1 - m_2)u_1 + 2m_2 u_2}{m_1 + m_2} $ | 根据动量与动能守恒推导得出 |
| 碰撞后物体2的速度 $ v_2 $ | $ v_2 = \frac{(m_2 - m_1)u_2 + 2m_1 u_1}{m_1 + m_2} $ | 同上，适用于完全弹性碰撞 |
四、特殊情况分析
- 若 $ m_1 = m_2 $，则：
$$
v_1 = u_2,\quad v_2 = u_1
$$
即两物体交换速度。
- 若 $ m_2 \gg m_1 $（如小球撞击大墙），则：
$$
v_1 \approx -u_1,\quad v_2 \approx u_2
$$
小球反弹，大物体速度几乎不变。
通过上述推导，我们可以在已知初始速度和质量的情况下，准确计算完全弹性碰撞后的速度。这一结论在工程、运动学以及粒子物理中具有广泛的应用价值。
