【复合函数求导怎么求?】在微积分中，复合函数的求导是一个非常重要的知识点。它涉及到链式法则的应用，是解决复杂函数导数问题的基础。掌握复合函数的求导方法，不仅有助于理解函数的变化率，还能为后续学习高阶导数、隐函数求导等内容打下坚实基础。
一、复合函数求导的基本思路
复合函数是由两个或多个函数嵌套而成的函数，形式如：
y = f(g(x))
其中，g(x) 是内层函数，f(u) 是外层函数，u = g(x)。
对这样的函数求导时，需要使用链式法则（Chain Rule），即：
> d/dx [f(g(x))] = f’(g(x)) · g’(x)
简单来说，就是先对外层函数求导，再乘以内层函数的导数。
二、复合函数求导的步骤总结
| 步骤 | 内容说明 |
| 1 | 确定外层函数和内层函数，明确谁是“最外层”、谁是“最内层”。 |
| 2 | 对外层函数进行求导，将内层函数整体视为变量。 |
| 3 | 对内层函数进行求导。 |
| 4 | 将两者的导数相乘，得到最终结果。 |
| 5 | 若有多个嵌套层次，重复上述步骤，从最外层开始逐步向内求导。 |
三、典型例题解析
例1：
函数：y = sin(2x + 1)
- 外层函数：sin(u)，其中 u = 2x + 1
- 内层函数：u = 2x + 1
求导过程：
- 外层导数：cos(u) = cos(2x + 1)
- 内层导数：2
- 最终结果：cos(2x + 1) × 2 = 2cos(2x + 1)
例2：
函数：y = (3x² + 5)^4
- 外层函数：u⁴，其中 u = 3x² + 5
- 内层函数：u = 3x² + 5
求导过程：
- 外层导数：4u³ = 4(3x² + 5)³
- 内层导数：6x
- 最终结果：4(3x² + 5)³ × 6x = 24x(3x² + 5)³
四、常见错误与注意事项
| 常见错误 | 注意事项 |
| 忽略链式法则，直接对整个表达式求导 | 一定要分清内外层函数，按顺序求导 |
| 混淆导数的顺序，导致结果错误 | 先外后内，不能颠倒 |
| 忘记乘以内层函数的导数 | 链式法则必须包含两部分的乘积 |
| 多层嵌套时未逐层处理 | 从最外层开始，一层一层往下推导 |
五、总结
复合函数求导的核心在于链式法则的应用，其本质是通过分步求导来简化复杂的函数结构。只要掌握好外层和内层函数的识别，以及每一步的导数计算，就能轻松应对大多数复合函数的求导问题。
| 关键点 | 内容 |
| 方法 | 链式法则（外层导数 × 内层导数） |
| 顺序 | 从外到内，逐层求导 |
| 应用 | 适用于任何由多个函数嵌套构成的函数 |
| 易错点 | 忽略乘法、顺序错误、忽略中间变量 |
如果你能熟练掌握这些内容，那么在面对各种复合函数求导问题时，就能更加自信和准确地完成解答。
