【变限积分求导公式是什么?】在微积分中，变限积分是一个重要的概念，尤其在求导过程中经常遇到。它指的是积分上限或下限不是常数，而是某个变量的函数。对于这类积分，我们需要使用特殊的求导法则来计算其导数。下面将对变限积分的求导公式进行总结，并通过表格形式清晰展示。
一、变限积分的基本概念
变限积分通常表示为：
$$
F(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) \, dt
$$
其中：
- $ a(x) $ 和 $ b(x) $ 是关于 $ x $ 的函数；
- $ f(t) $ 是被积函数；
- $ F(x) $ 是关于 $ x $ 的函数。
二、变限积分的求导公式
根据微积分基本定理和链式法则，变限积分的导数可以表示为：
$$
\frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) \, dt = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x)
$$
这个公式也被称为莱布尼茨法则（Leibniz Rule）。
三、公式解析与适用情况
| 公式名称 | 表达式 | 说明 |
| 变限积分求导公式 | $\frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) \, dt = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x)$ | 当积分上下限都是关于 $ x $ 的函数时使用 |
| 积分上限为 $ x $，下限为常数 | $\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) \, dt = f(x)$ | 下限是常数，上限是 $ x $ 时直接得到被积函数 |
| 积分下限为 $ x $，上限为常数 | $\frac{d}{dx} \int_{x}^{b} f(t) \, dt = -f(x)$ | 上限是常数，下限是 $ x $ 时导数为负的被积函数 |
| 积分上下限均为常数 | $\frac{d}{dx} \int_{a}^{b} f(t) \, dt = 0$ | 积分结果为常数，导数为零 |
四、举例说明
1. 例1：
$$
\frac{d}{dx} \int_{2}^{x^2} \sin t \, dt = \sin(x^2) \cdot 2x
$$
2. 例2：
$$
\frac{d}{dx} \int_{x}^{3} e^t \, dt = -e^x
$$
3. 例3：
$$
\frac{d}{dx} \int_{\ln x}^{x} \frac{1}{t} \, dt = \frac{1}{x} \cdot 1 - \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x}
$$
五、总结
变限积分的求导公式是微积分中的重要内容，适用于积分上下限为变量的情况。掌握该公式有助于解决实际问题，如物理中的运动学分析、经济学中的边际成本计算等。理解并灵活运用这一公式，能够提高解题效率和准确性。
关键词：变限积分、求导公式、莱布尼茨法则、微积分、积分上下限
