【sin和cos华里士公式】在数学中，尤其是积分计算中，华里士公式（Wallis formula）是一个重要的工具，用于计算正弦函数和余弦函数的幂次积分。这些公式通常出现在微积分、物理和工程领域，尤其是在处理周期性函数或进行傅里叶分析时。
华里士公式主要针对的是形如 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx$ 或 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \, dx$ 的定积分，其中 $n$ 为非负整数。通过该公式，可以快速求得这些积分的精确值，而无需复杂的数值计算。
华里士公式的总结
| 公式名称 | 公式表达式 | 适用范围 | 说明 |
| 华里士公式（sin^n x） | $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2} + 1\right)}$ | $n \in \mathbb{N}_0$ | 适用于所有非负整数 $n$ |
| 华里士公式（cos^n x） | $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \, dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2} + 1\right)}$ | $n \in \mathbb{N}_0$ | 与sin^n x的积分相同，因为对称性 |
| 特殊情况（偶数n） | $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx = \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot \frac{\pi}{2}$ | $n$ 为偶数 | 双阶乘形式，适用于偶数次幂 |
| 特殊情况（奇数n） | $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx = \frac{(n-1)!!}{n!!}$ | $n$ 为奇数 | 不含 $\pi$，仅用双阶乘表示 |
举例说明
- 当 $n = 2$ 时：
$$
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \, dx = \frac{\pi}{4}
$$
- 当 $n = 3$ 时：
$$
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 x \, dx = \frac{2}{3}
$$
- 当 $n = 4$ 时：
$$
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x \, dx = \frac{3\pi}{16}
$$
这些结果可以通过直接使用华里士公式或通过递推关系得到。
小结
华里士公式是处理三角函数高次幂积分的重要工具，尤其在数学分析和应用科学中具有广泛用途。它不仅简化了计算过程，还揭示了正弦和余弦函数在特定区间上的对称性和规律性。对于实际问题中的积分计算，掌握这一公式是非常有帮助的。
注： “华里士”是“Wallis”的音译，因此在不同文献中也常被称为“沃利斯公式”。
