【求 int lnx xdx的不定积分】在微积分中，求解不定积分是一项基础但重要的技能。对于形如 ∫ ln x · x dx 的积分，虽然看似简单，但需要一定的技巧来处理。本文将通过逐步分析和总结，给出该积分的解法，并以表格形式展示关键步骤。
一、问题分析
我们需要计算的是：
$$
\int \ln x \cdot x \, dx
$$
这是一个乘积形式的积分，其中包含对数函数和多项式函数的乘积。直接积分较为困难，因此通常采用分部积分法（Integration by Parts）。
二、解题思路
分部积分法的基本公式为：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
我们选择：
- $ u = \ln x $ → $ du = \frac{1}{x} dx $
- $ dv = x \, dx $ → $ v = \frac{x^2}{2} $
代入公式得：
$$
\int \ln x \cdot x \, dx = \ln x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx
$$
化简第二项：
$$
= \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \int x \, dx
$$
再积分：
$$
= \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + C
$$
最终结果为：
$$
\frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C
$$
三、关键步骤总结
| 步骤 | 操作 | 公式/表达式 |
| 1 | 选择分部积分法 | $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $ |
| 2 | 设定 $ u $ 和 $ dv $ | $ u = \ln x $, $ dv = x \, dx $ |
| 3 | 计算 $ du $ 和 $ v $ | $ du = \frac{1}{x} dx $, $ v = \frac{x^2}{2} $ |
| 4 | 应用分部积分公式 | $ \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx $ |
| 5 | 化简并积分 | $ \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + C $ |
| 6 | 最终结果 | $ \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C $ |
四、结论
通过对 ∫ ln x · x dx 的分部积分法求解，我们得到了如下结果：
$$
\int \ln x \cdot x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C
$$
该结果包含了对数函数与二次多项式的组合，体现了分部积分法在处理此类问题时的有效性。建议在学习过程中多加练习类似题目，以提高积分能力。
