【复合函数求导法则怎么证明?】在微积分中，复合函数的求导法则是基本且重要的内容之一，它被称为“链式法则”（Chain Rule）。该法则用于求解由两个或多个函数复合而成的函数的导数。虽然链式法则在应用中非常直观，但其背后的数学证明却需要严谨的逻辑推导。
以下是对复合函数求导法则的总结与证明过程的梳理，并通过表格形式进行归纳。
一、复合函数求导法则简介
设函数 $ y = f(u) $ 和 $ u = g(x) $ 都是可导函数，则它们的复合函数为：
$$
y = f(g(x))
$$
根据链式法则，其导数为：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
即：
$$
\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
二、链式法则的证明思路
链式法则的证明主要依赖于导数的定义和极限的性质。以下是证明的核心步骤：
1. 定义导数：
设 $ f(u) $ 在点 $ u = g(x) $ 处可导，$ g(x) $ 在点 $ x $ 处可导。
2. 引入增量：
记 $ \Delta x $ 是 $ x $ 的一个微小变化，对应的 $ \Delta u = g(x + \Delta x) - g(x) $，再对应 $ \Delta y = f(u + \Delta u) - f(u) $。
3. 构造差商：
差商为：
$$
\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}
$$
4. 取极限：
当 $ \Delta x \to 0 $ 时，若 $ \Delta u \neq 0 $，则：
$$
\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x} \right) = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
5. 特殊情况处理：
若 $ \Delta u = 0 $，则 $ \Delta y = 0 $，此时差商为 0，仍满足公式。
三、链式法则的总结与证明要点
| 项目 | 内容 |
| 法则名称 | 链式法则（Composite Function Derivative Rule） |
| 公式表达 | $ \frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ |
| 适用条件 | $ f(u) $ 在 $ u = g(x) $ 处可导，$ g(x) $ 在 $ x $ 处可导 |
| 核心思想 | 将复合函数的导数分解为外层函数对内层函数的导数乘以内层函数对自变量的导数 |
| 证明方法 | 基于导数定义、差商构造、极限运算 |
| 关键步骤 | 构造差商、分析极限行为、处理特殊情况（如 $ \Delta u = 0 $） |
四、举例说明
假设 $ y = \sin(2x) $，则可以看作 $ y = \sin(u) $，其中 $ u = 2x $。
- $ \frac{dy}{du} = \cos(u) $
- $ \frac{du}{dx} = 2 $
因此，
$$
\frac{dy}{dx} = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)
$$
五、结论
复合函数求导法则（链式法则）是微积分中的基础工具，其证明过程体现了数学中极限思想的应用。理解并掌握这一法则不仅有助于解决实际问题，也为更复杂的函数求导打下坚实基础。通过严格的数学推导，我们能够确认这一法则的正确性与普遍适用性。
