【定积分求导怎么算】在微积分的学习中，定积分与求导是两个重要的概念。很多人对“定积分如何求导”感到困惑，其实这是一个常见的问题，涉及到微积分基本定理的应用。本文将总结定积分求导的基本方法，并通过表格形式清晰展示不同情况下的计算方式。
一、定积分求导的基本思路
定积分求导的核心思想是利用微积分基本定理（牛顿-莱布尼兹公式）。该定理指出：
如果函数 $ f(x) $ 在区间 $[a, b]$ 上连续，且 $ F(x) $ 是其一个原函数（即 $ F'(x) = f(x) $），那么有：
$$
\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)
$$
而当我们对定积分进行求导时，通常涉及的是变限积分，即积分上限或下限为变量的情况。
二、定积分求导的几种常见类型
| 情况 | 表达式 | 求导结果 | 说明 |
| 1. 积分上限为变量 $ x $，下限为常数 $ a $ | $ \frac{d}{dx} \int_a^x f(t) \, dt $ | $ f(x) $ | 由微积分基本定理直接得出 |
| 2. 积分上限为变量 $ x $，下限为变量 $ u(x) $ | $ \frac{d}{dx} \int_{u(x)}^x f(t) \, dt $ | $ f(x) - f(u(x)) \cdot u'(x) $ | 应用链式法则和基本定理 |
| 3. 积分上下限均为变量 $ x $ | $ \frac{d}{dx} \int_{u(x)}^{v(x)} f(t) \, dt $ | $ f(v(x)) \cdot v'(x) - f(u(x)) \cdot u'(x) $ | 应用变限积分的求导法则 |
| 4. 被积函数含有变量 $ x $ | $ \frac{d}{dx} \int_a^x f(t, x) \, dt $ | $ f(x, x) + \int_a^x \frac{\partial f(t, x)}{\partial x} \, dt $ | 使用Leibniz法则 |
三、实例解析
示例1：
$$
\frac{d}{dx} \int_0^x \sin t \, dt = \sin x
$$
示例2：
$$
\frac{d}{dx} \int_{x^2}^x e^t \, dt = e^x - e^{x^2} \cdot 2x
$$
示例3：
$$
\frac{d}{dx} \int_{\ln x}^{x^3} \cos t \, dt = \cos(x^3) \cdot 3x^2 - \cos(\ln x) \cdot \frac{1}{x}
$$
四、注意事项
- 当被积函数中含有变量 $ x $ 时，不能简单地只对积分上限求导，还要考虑被积函数本身的变化。
- 变限积分的求导需要结合链式法则和微积分基本定理。
- 若积分上下限都是关于 $ x $ 的函数，则需要用Leibniz法则来处理。
五、总结
定积分求导的关键在于理解微积分基本定理，并掌握变限积分和复合函数的求导技巧。通过上述表格和实例，可以更清晰地掌握不同类型定积分的求导方法，从而提高解题效率。
如需进一步练习，建议多做变限积分和含参积分的题目，逐步提升对这一知识点的理解和应用能力。
