【1+sinx分之一的不定积分】在微积分中，求解函数 $ \frac{1}{1 + \sin x} $ 的不定积分是一个常见但需要技巧的问题。该积分可以通过三角恒等式和代换法进行化简，最终得到一个较为简洁的表达式。
以下是对该积分的详细总结与计算过程的整理：
一、积分公式
$$
\int \frac{1}{1 + \sin x} \, dx = \tan x - \sec x + C
$$
其中 $ C $ 是积分常数。
二、推导过程（简要）
1. 利用三角恒等式
为简化积分，可以将分子分母同时乘以 $ 1 - \sin x $，即：
$$
\frac{1}{1 + \sin x} \cdot \frac{1 - \sin x}{1 - \sin x} = \frac{1 - \sin x}{1 - \sin^2 x}
$$
2. 应用基本恒等式
由于 $ 1 - \sin^2 x = \cos^2 x $，所以有：
$$
\frac{1 - \sin x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{\sin x}{\cos^2 x}
$$
3. 拆分成两个积分
$$
\int \left( \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{\sin x}{\cos^2 x} \right) dx = \int \sec^2 x \, dx - \int \frac{\sin x}{\cos^2 x} \, dx
$$
4. 分别积分
- $ \int \sec^2 x \, dx = \tan x $
- $ \int \frac{\sin x}{\cos^2 x} \, dx = \int \sec x \tan x \, dx = \sec x $
5. 合并结果
所以最终结果为：
$$
\tan x - \sec x + C
$$
三、总结表格
| 积分表达式 | 结果 | 说明 |
| $ \int \frac{1}{1 + \sin x} \, dx $ | $ \tan x - \sec x + C $ | 通过三角恒等式和拆分积分得到 |
四、注意事项
- 在使用上述结果时，需注意定义域的限制，例如 $ \cos x \neq 0 $。
- 不同教材或参考资料可能采用不同的方法，但最终结果应一致。
如需进一步验证，可对结果求导，看是否还原原函数。这有助于提高理解深度并增强解题信心。
