函数的最大值与最小值是数学分析中的核心问题，求函数最大值与最小值的方法主要有导数法、配方法、不等式法等。首先，对于可导函数，通过求导并令导数为零找到临界点，再结合定义域边界点比较函数值即可得到最大值与最小值。其次，对于二次函数，利用配方法转化为顶点式直接得出最值。此外，利用均值不等式、柯西不等式等也能求解某些特殊函数的最值。注意，在闭区间上连续函数必有最值，而开区间则需考虑极限。实际应用中，需结合函数单调性、凹凸性等性质综合判断。
【常见问题】
问题1：求函数的最大值与最小值时，为什么需要检查边界点？
回答1：因为在闭区间上，函数的最大值与最小值可能出现在临界点或边界点，忽略边界点会导致漏掉极值，例如线性函数在区间端点处取得最值。
问题2：对于不可导函数，如何求函数的最大值与最小值？
回答2：对于不可导函数，如分段函数或绝对值函数，需分段讨论每一段上的单调性，比较各段端点及不可导点的函数值，从而确定函数的最大值与最小值。
问题3：导数法求函数的最大值与最小值时，如何判断临界点是极大值还是极小值？
回答3：可以通过二阶导数判别法：若二阶导数大于0，则该点为极小值点；若二阶导数小于0，则为极大值点。也可通过一阶导数左右符号变化判断，左正右负为极大值，左负右正为极小值。
