拐点就是函数图像上弯曲方向发生改变的点，通常对应函数连续、二阶导数在该点左右符号变化的位置；判断函数的拐点时，一般先求二阶导数，再找候选点，再比较候选点两侧二阶导数符号变化，符号变化就确认函数的拐点。

核心说明

• 函数拐点关注弯曲方向变化。
• 二阶导数用来观察弯曲方向。
• 候选点需要先确认函数在该点连续。
• 候选点两侧二阶导数符号变化，可确认函数的拐点。

原理梳理

• 一阶导数描述函数图像上升或下降的趋势。
• 二阶导数描述函数图像弯曲方向的趋势。
• 当二阶导数在某个候选点左右符号变化时，函数图像弯曲方向会改变。
• 函数在该点连续，拐点含义更完整。

查找方法

1. 先确认函数在目标点连续。
2. 求二阶导数。
3. 列出二阶导数为 0 的点。
4. 列出二阶导数需单独检查的点。
5. 在候选点两侧各选接近点代入二阶导数，查看符号变化。
6. 两侧二阶导数符号变化，则候选点为函数的拐点。

类型对照表

快速检查清单

• 二阶导数是否求出。
• 候选点是否列出。
• 函数在候选点是否连续。
• 候选点两侧二阶导数符号是否变化。
• 拐点确认信息是否写入表格。

示例说明

函数 y=x³ 在 x=0 左右二阶导数符号变化，二阶导数 y =6x，x=0 左右二阶导数符号变化，所以 x=0 是函数的拐点。

常见问题

问题1：函数的拐点是什么？回答1：函数的拐点就是函数图像上弯曲方向发生改变的点，判断函数的拐点通常要看二阶导数左右符号变化。

问题2：函数的拐点怎么找？回答2：找函数的拐点可以先求二阶导数，再列出二阶导数为 0 的候选点和需单独检查的候选点，然后比较候选点两侧二阶导数符号变化，符号变化即可确认函数的拐点。

问题3：函数的拐点可以用表格检查吗？回答3：可以用表格检查函数的拐点，表格里写候选点、二阶导数左侧符号、二阶导数右侧符号、弯曲方向变化，符号变化即可确认函数的拐点。

免责声明：本文用于函数的拐点概念理解和学习方法参考，具体题目请以教材定义和考试说明为准。