在物理学中，瞬时加速度和切向加速度是两个看似相似但又有所区别的概念。然而，在某些情况下，它们却能够共享同一个公式。这究竟是为什么呢？要理解这一点，我们需要从加速度的本质以及它们之间的关系入手。

首先，让我们回顾一下什么是瞬时加速度。瞬时加速度是指物体在某一时刻的速度变化率，它描述了物体运动状态随时间的变化情况。而切向加速度则是指沿着物体运动轨迹切线方向上的加速度分量，主要反映了物体速度大小的变化。

那么，为什么这两个概念可以使用相同的公式来表达呢？关键在于它们都涉及到对位置函数求导这一基本操作。对于一个质点而言，其位置矢量 r(t) 随时间 t 的变化决定了它的速度 v(t)，进而决定了加速度 a(t)。当我们将 r(t) 对 t 求导两次时，得到的就是总加速度，其中包括了切向加速度和平面内的法向加速度。

具体来说，在平面曲线运动中，如果忽略重力影响，则有以下关系式成立：

\[ \vec{a} = \frac{{d\vec{v}}}{{dt}} = \dot{v}\hat{T} + v^2/R\hat{N}, \]

其中 \(\hat{T}\) 表示单位切向向量，\(\hat{N}\) 表示单位法向向量，R 为曲率半径。由此可见，切向加速度 \(a_t = \dot{v}\) 实际上就是总加速度沿切线方向的投影部分。

因此，尽管瞬时加速度涵盖了更多的信息（如方向变化引起的法向加速度），但在特定条件下——比如只关心物体速度大小的变化时——它可以简化为切向加速度的形式。这种简化不仅方便了计算，也揭示了两者之间深刻的内在联系。

总结起来，瞬时加速度和切向加速度之所以能共用同一公式，是因为它们本质上都是基于位置函数求导的结果，并且在适当条件下可以相互转化。通过深入分析这一现象，我们不仅能更好地理解加速度的概念，还能更灵活地运用相关知识解决实际问题。