在数学中，三角函数作为研究角度关系的重要工具，其性质和公式有着广泛的应用。其中，“和差化积”公式是三角函数公式体系中的重要组成部分，它将两个角的正弦或余弦之和（或差）转化为这两个角的乘积形式。这一转换不仅简化了复杂的计算过程，还为解决许多实际问题提供了便利。
本文将从基本定义出发，通过严谨的逻辑推导，详细展示如何证明三角函数的和差化积公式，并结合实例说明其应用场景。
一、公式回顾
三角函数的和差化积公式主要包括以下四个：
1. $\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$
2. $\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$
3. $\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$
4. $\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$
这些公式的核心思想在于利用三角函数的对称性和周期性，将加减运算转化为乘积形式，从而实现简化。
二、公式的推导
为了更好地理解这些公式的来源，我们以公式 $\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$ 为例进行推导。
1. 基础公式回顾
根据三角函数的基本关系式：
$$
\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B
$$
$$
\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B
$$
将上述两式相加：
$$
\sin(A+B) + \sin(A-B) = 2\sin A \cos B
$$
令 $x = A+B$，$y = A-B$，则有 $A = \frac{x+y}{2}$，$B = \frac{x-y}{2}$。代入后得到：
$$
\sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}
$$
这便是公式 $\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$ 的推导过程。
2. 其他公式的推导
类似地，可以通过同样的方法推导出其他三个公式。例如：
- 对于 $\sin A - \sin B$，只需将上式中的 $+$ 替换为 $-$；
- 对于 $\cos A + \cos B$ 和 $\cos A - \cos B$，可以利用余弦的和差公式进行类比推导。
三、公式的应用举例
例题 1
已知 $\sin 75^\circ + \sin 15^\circ$，求其值。
根据公式 $\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$：
$$
\sin 75^\circ + \sin 15^\circ = 2\sin\frac{75^\circ+15^\circ}{2}\cos\frac{75^\circ-15^\circ}{2}
$$
$$
= 2\sin 45^\circ \cos 30^\circ
$$
$$
= 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}.
$$
例题 2
化简 $\cos 80^\circ - \cos 20^\circ$。
根据公式 $\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$：
$$
\cos 80^\circ - \cos 20^\circ = -2\sin\frac{80^\circ+20^\circ}{2}\sin\frac{80^\circ-20^\circ}{2}
$$
$$
= -2\sin 50^\circ \sin 30^\circ
$$
$$
= -2 \cdot \sin 50^\circ \cdot \frac{1}{2} = -\sin 50^\circ.
$$
四、总结
三角函数的和差化积公式是数学学习中的一个重要知识点，其核心在于将复杂的加减运算转化为简单的乘积形式。通过本文的推导与应用示例可以看出，掌握这些公式不仅可以提高解题效率，还能帮助我们更深刻地理解三角函数的本质。
希望读者能够熟练运用这些公式，在后续的学习中灵活应对各种复杂问题！
