在数学中，三角函数的性质和恒等式是解决许多问题的关键工具。本文将探讨一个有趣的三角函数等式：sin54° - sin18° = 1/2。我们将通过几何方法和代数推导相结合的方式，给出一种清晰且易于理解的证明。
一、背景与意义
三角函数在几何学、物理学以及工程学等领域有着广泛的应用。而sin54°和sin18°作为特殊角，其值可以通过精确计算得到。本题不仅展示了这些特殊角之间的关系，还体现了三角函数的对称性和周期性。
二、公式回顾
在证明之前，我们需要利用以下两个重要的三角恒等式：
1. 和差化积公式：
$$
\sin A - \sin B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A - B}{2}\right)
$$
2. 特殊角的正弦值：
$$
\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}, \quad \sin 54^\circ = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}
$$
这两个公式将在后续推导中起到关键作用。
三、具体推导过程
第一步：应用和差化积公式
根据题目要求，我们有：
$$
\sin 54^\circ - \sin 18^\circ = 2 \cos\left(\frac{54^\circ + 18^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{54^\circ - 18^\circ}{2}\right)
$$
计算括号内的角度：
$$
\frac{54^\circ + 18^\circ}{2} = 36^\circ, \quad \frac{54^\circ - 18^\circ}{2} = 18^\circ
$$
因此，上式可以写为：
$$
\sin 54^\circ - \sin 18^\circ = 2 \cos 36^\circ \sin 18^\circ
$$
第二步：代入特殊角的正弦值
根据已知条件：
$$
\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}, \quad \cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}
$$
将其代入上述表达式：
$$
\sin 54^\circ - \sin 18^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{5} + 1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5} - 1}{4}
$$
第三步：化简计算
利用平方差公式 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$，我们有：
$$
\left(\frac{\sqrt{5} + 1}{4}\right)\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{4}\right) = \frac{(\sqrt{5})^2 - (1)^2}{16} = \frac{5 - 1}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}
$$
因此：
$$
\sin 54^\circ - \sin 18^\circ = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}
$$
四、结论
通过以上推导，我们成功证明了：
$$
\boxed{\sin 54^\circ - \sin 18^\circ = \frac{1}{2}}
$$
这一结果不仅验证了三角函数的对称性，还展示了特殊角之间的精妙联系。希望本文能帮助读者更好地理解和掌握三角函数的相关知识！
